Carmell’s contextual categories. Interpretation of the syntactic expressions in type theory. Let be a type theory with standard rules. The category of contexts is defined as follows:
- Objects are finite contexts .
- Maps are context morphisms or substitutions.
- Equality of contexts and morphisms are up to definitional equality and renaming.
Contextual categories from universes
A universe in a context category consists of:
- an object
- a morphism
- for every a choice of pullback square:
category of contexts
�PNG ��� IHDR��
Link to original�������7�[B�� �IDATx���w\� ��=G �$A�ō�uWE-�jݭ��ۺ(��Q�h�*�A��U�PG�U�Պ�d ��.D�2��� 8�r����x��=O��'�=�s�Q��ƀB!�]�a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ �8a@ � B! [ �^}W�5(b�~�� �ֲ�������gOE%)��W�5Co��EkQ�����jV�� ����Y,vl����}�8 ���{������ � Pm{��:�4x��_� �?���q���VI�1�z�� Tc����Z��?3{�|��ĹEs¤݉}��c�P�G�!”�jIo��]?���\�vm�i�(1&���}�\�{��Ã��3A5c�k���&L̑��_ c�έ�)u����v!��b��v1�^-�[@5Al� ��%�;��%��?�6tTWS�Ħ�9�.{�� &�0:ˤ��� T�]z�3��G�W������xn@;1LR읢Jw@�?� �}�G�L_˵EՆ�j@�٪�Ŗܹq��8&��p�G�#�� ���P�t�rv�� �^���̅�z��СM��gΛ=i�oK[Q������q �Ϭp�=b"�XR�fg��xL�>��Faa1������;� q�Z��rsM��c3մ�M&�ۅ�<_����0�����ؒ��S��;x�JB�Ulj�V}��rk�}4� Հ����-**f�@( �f�ŲQWڄ� �~��c��>v�'�[ �*1NQ����\BC|]:��[����c;d�������j�;�k���X�؇�f��>��1 �ۣh�b��d�w��v�����) 0҅f�c�8�8�dh�X�]���2�����,� !�Y ���2�9c����f R��Dm?�t��~ �/����"��o��4^ǃ������Ƀ���[B+k��GOy~�����T͂�q�E�βwcO|5jv�B-�j�O�����X�Ι&=6;�f ��:%�ƍ;x𠱱�M��A�O�iӄ��RY�uD�URRҷoߌ� //�}�������������� v��9`���ׯ�cU5�� � ;v�Y�f999����PTTԥKL�!GGǽ{�J��k���v��m��� .�iz�֭K�.�� j [`f���,˖���_� �i.##����{mڴ)�����i���� u( ���DU?��s��=[[��� ��Je@@��V�j),,LOO���333#��������7N�֥�ձ�iӦMel������#T��G��>}�l��k|�Y~�������P(~����� �U�/.�����eÜ�;)Ү .H�ҙ3g�۷���Rmi������ϡC�t� !� � B�0 B�0 B�0 B�0 B�0 B�0 B�0 B�0 B�0 B�0 B�0 B�0 B���;k�!& ]{45aT*�J�V��r�D�!EQ�Bh�&���05���L [�����6� 9��������Pl��fŞ:�;lg�٤<ݻ� �&�W�� �-T�*5�V3,�B�O M� �2wO���+P �L�aF;���R��a��B�� �� (<�/G�Q��4 �r�j? M��{i��;�+�1��@�����Qڤ�w��ң�ؒ�+?�xc_>HT/����f�Ξ}'� �iJ��-L>r0*N�� �����L��g� i ���>��(�`U��9��ȥ����g�*y�DŀxI�z���h�P�Y߷����>L��M �����^\�a�O��@��z�@s�� �>rG�fDž��k��PLޅ%}F�&�oid�|I��a�� �7�yr%x���Y�����t@�YZR���9{��Dž��X�l� R�/ ��<�J�" �Jz#��C� �¼<U�T U����#""���N�2�� �<J�{�q>dn.z�� ����6�� ���"����s�n�c@O������_WJ���U��'h~X��2{��&�'������� F8brhE}�N�:�={����h��EH��hހ��� (�&=!!_�ի ��i2��x��ɓj��������.�ӗ� ˚q��7 �7 ����Q!����^NN�����9s�8�E�"���̄D�{�R���P+ �Y�������n���oKKK Ըqcm�%��%4�[���yS@_.w,k@$$��l����S*�۷o'�i�(�w1�����j�%�/� �EZ�]�@T�!X�~}~~~���G���r2���} �27 �ލW���B�egg/X��e�o��f����*���\LHu�h7} @���q�bh ��߿x�b�����{???��!�˜�ߗ �ɝi�� 9^��L��"44t��Մ�͛7o��Ʀv�O�dRsRݦ����jH0)�<n@@T [ ����-ZTXX���w���)S�XYY�����a&‘T�/A��ؕ�09I�“��z ��mڴ �n�uE�,kdd8���G��x��T&����iI�h �27Cli��X�Α� Zo@B��KA����p�.�)���k�����Jx�D��f͚�C� <xp����-I�� �w�ӣ����IׯވW���}�bi����Yެe�fN&e�S���E�W���͝/��q 8p.�M%�9�����D�@k�dll|��m��:v옖����h;�QS&�Ғ�4n@˖-e4��s�>� �݂�z�����v�@� :4((��Ĥ��8$$$,,L�T�Ǝ�N�6���H-�x#/oO!lA� ~7 0 8h; X�U��j�:2~��ŋ��S����j)���8:� (�&��C��]{w4!�\?{��Wi=���aÆ-^��e�9s������gmgA�����tEb�wp7 �O�}�� ��@�0g���G �Z� �k? ��2�7����P_�-�}�t6��y|r�a���'�R�O �gbb�j�*BȲe�v�ء�2�g������D�A�31���a�z�J��'��� ���@�bB輩S�����?~˖-�*C�HV�X�Z�gP;q��%V f�n�.���䰥?��y�f���xI$�:>;(s����foo?v�X�e�/_��b��ȣW Y�Z:r��靜D>������{����$�~pf��egr�X�Z���������g�a3��X\�p��ڷ�����W�7-�����s”1O���=�z@��HDWr:�0���RlBp��b����>çU����iӦ . 2�.���z4�9�Y���4�*..��z����KzX��J���w t��sҒ����Kל��"�]�v����:.��":J]ǥj�ġ�F��k�O�NrY�}s��ƍ111G� ���<<�@o�� 9�m3�@O}sM�~k�xԄ@�[��u�=�˃�7 �e�8�d���� �6 ��}��F��3!�b�*w�C�!�OU���#�O��ܓ4Ez D"��� �.�<,h�[�+<�(-�>��Uj��R� � b�8�K���_�2��NI�P�@���pȼ@�b��˹���Wl�Q6W��IK�f�X�ʬ�jx�3E� j��'��߭�+��C�dE:@;˥hx�3E���.����s�*557�h,�H�&��,]�N��a@ �!Am�b2�H��7�M;��4@40H#Ī��Y� o�q�?��RY�w�� }��d21~Z?�CZ��4!�� �w|Fp��g�m�ܽ���&g�L���{wTM�I��&���`��?[� ��B�P(KY 2�A�� i� ��^0�iƮտ&V��P����J�"��u\7�e�r�aP���c�~�R��u�"���ܤ.��t� q�p^/�?�=��s��y�y/�����;^�Ѱ`@ Nb���B��g���L�l���� �������u� .�B�� �uv�����U�?LKU _9��ӯ�g���yA/��LjmX�X+[�� �k�����ȲͨR�BD ��������{�@$ ��,˲ �fY��-�``@ �8a B�B�B�B�B�B�B�B�B�B�B�B�B�B�B�B�B�B������--������IEND�B�
This allows us to construct contexts within a universe. Write for .
*What is ?
References
riehl-hott-semantics (definition 2.1.1)